집에서 DIY 로 가시광선(약 400 - 700 nm) 영역에서 관찰할 수 있는 분광기를 제작하려고 하는데, 분광기의 구성 부품들을 최적의 위치에 배치하기 위해서는 약간의 광학 계산이 필요하다. 어떻게 하여 분광기의 구성 부품의 배치가 결정되는지 이해하는 것은 추후에 분광기의 구성 부품을 바꾸거나 또는 구조를 개선하려고 할 때 도움이 될 것이다. 이 글에서는 투과형 분광기에서 구성 부품들의 배치를 결정하기 위한 광학 계산을 정리하였다.
1. 구성 부품#
- 회절 격자 필름: 1000 lines/mm, 유효 면적 30 mm x 20 mm
- 회절 격자 간격 \(d = 1/1000 = 1 \, \mu m = 1000 \, nm\)
- 라즈베리 파이 HQ 카메라 센서: 화소 수 4056 x 3040, 화소 크기 1.55 \(\mu m\)
- 카메라 센서 크기:
- 너비: \(4056 \times 1.55 = 6287 \, \mu m = 6.287 \, mm\)
- 높이: \(3040 \times 1.55 = 4.712 \, mm\)
- 카메라 센서 크기:
- HQ 카메라용 16mm 망원 렌즈: F#1.4 (최대), 최단 초점 거리(MOD) 20 cm, optical length 67.53 mm
- \(f_{imag} = 16 \, mm\)
- \(F\#1.4 = \frac {\text{렌즈 초점거리}} {\text{렌즈 직경}}\) 이므로, 렌즈 직경 \(D_{imag} = 16/1.4 = 11.43 \, mm\)
- 슬릿(slit): 슬릿 폭 \(W = 0.1 \, mm = 100 \, \mu m\)로 가정
투과형 분광기에서 구성 부품들은 슬릿 - 콜리메이션(collimation) 렌즈 - 회절 격자 필름 - 이미징(imaging) 렌즈 - 카메라 센서의 순으로 놓이게 된다. 콜리메이션 렌즈는 생략될 수도 있다.
2. 광학 계산#
2.1 회절 방정식과 중심 파장에서 회절각#
파장 \( \lambda\)인 빛이 회절 격자 필름을 지나며 회절될 때 회절각은 다음의 회절 방정식에 의하여 결정된다.
$$ m \lambda = d (sin \, \alpha + sin \, \beta) $$이 식에서,
\(\lambda\): 입사광의 파장
\(m\): 회절 차수
\(d\): 회절 격자 간격
\(\alpha\): 입사광의 입사각, \(\beta\): 회절광의 회절각 (각도는 회절 격자 면에 수직 축을 기준으로 측정)
지금의 경우, 입사광은 회절 격자 면에 수직으로 입사하는 것으로 가정하면, \(\alpha = 0^\circ\).
1 차 회절(\(m = 1\))인 경우에 회절 방정식은 \(\lambda = d sin \, \beta\) 이 되고, 회절각 \(\beta = arcsin (\lambda/d)\) 이다.
중심 파장 \(\lambda_c = (400 + 700) /2 = 550 \, nm\) 에서 \(\beta_c = arcsin(550/1000) = 33.37 ^\circ\)
(a) Collimator 가 없는 경우#
콜리메이션 렌즈가 없는 경우에는 슬릿의 상이 16 mm HQ 이미징 렌즈에 의하여 카메라 센서 면에 맺히는 것으로 생각할 수 있다. 얇은 렌즈 근사를 사용하면,
$$ 1/s_i + 1/s_o = 1/f $$여기서 \(s_i\)는 렌즈에서 카메라 센서 면까지의 거리, \(s_o\)는 렌즈에서 물체(슬릿)까지의 거리이다.
16 mm HQ 렌즈의 사양 시트를 보면 최단 초점 거리(MOD)는 20 cm = 200 mm 이다. 최단 초점 거리는 이미징 렌즈가 카메라 센서에 초점을 맺을 수 있는 최소 촬영 거리이다. 즉 물체는 카메라 센서 면으로부터 MOD 보더 더 떨어져 있어야만 렌즈가 센서 면에 상을 맺을 수 있다.
$$ s_i + s_o = 200 $$\(f = 16 \, mm\) 렌즈에 대해 위의 두 식을 만족하는 해를 구하면 (\(s_i < s_o\)를 가정), \(s_i = 17.54 \, mm, s_o = 182.46 \, mm \) 이다.
2.2 최소/최대 파장에서 회절각#
카메라 센서의 시야각(field of view, FOV)은 \( 2 \, arctan(\frac {\text{센서 너비}} {2 s_i}) \) 으로 구할 수 있다.
$$ \text {FOV} = 2 \times arctan(\frac {6.287} {2 \times 17.54}) \approx 20.32^\circ $$카메라 센서는 중심 파장 550 nm에서의 회절각 \(33.37^\circ \)을 중심으로 \( \pm \frac {20.32^\circ} {2} \)범위, 즉 \(23.21^\circ \sim 43.53^\circ \)를 수용할 수 있다.
센서 양 끝의 회절각을 회절 방정식에 대입하여 최소/최대 파장을 구하면,
\( \lambda_{min} = 1000 \times sin(23.21^\circ) \approx 394 \, nm\) 이고, \( \lambda_{max} = 1000 \times sin(43.53^\circ) \approx 689 \, nm\) 이다.
따라서 HQ 카메라는 처음 목표한 가시광선(400 ~ 700 nm) 영역의 일부가 잘리기는 했지만 394 nm ~ 689 nm 영역을 한 화면에 포착할 수 있다.
2.3 광학 배율과 슬릿 이미지#
최단 초점 거리(MOD)에서 렌즈의 배율 \( M = s_i/s_o =17.54 / 182.46 \approx 0.0961\) 이다. 그러나 입사광이 회절 격자 필름을 비스듬히 지날 때 발생하는 아나모픽 배율(anamorphic mignification) \(A = 1 / cos (33.37^\circ) \approx 1.20\)을 함께 고려해야 한다. 따라서 분광기 광학계의 가로축(분산 방향)에 대한 총 배율 \( M_x = M \times A = 0.0961 \times 1.20 \approx 0.115\) 이다.
슬릿의 폭을 \(W (= 100 \, \mu m)\)라 했을 때, 카메라 센서 면에 맺히는 슬릿 이미지의 폭 \(W' = W \times M_x = 100 \, \mu m \times 0.115 \approx 11.5 \, \mu m\) 이다.
2.4 센서 면에서의 선형 분산#
선형 분산(linear dispersion)은 회절 격자에 의하여 서로 다른 파장의 빛이 공간적으로 얼마나 퍼뜨려지는지(이를 분산이라 함) 그 정도를 나타내는데, 다음 식으로 주어진다.
$$ \frac {dx} {d\lambda} = \frac {s_i} {d \, cos \beta} $$중심 파장 550 nm에서 선형 분산을 구하면 \( \frac {dx} {d\lambda} = 17.54 / (1000 \times cos(33.37^\circ)) \approx 21.0 \, \mu m/nm\). HQ 카메라 센서의 한 픽셀의 크기는 \(1.55 \, \mu m\) 이므로 파장 폭 1 nm는 \(21.0/1.55 \approx 13.5\) 픽셀에 걸쳐 퍼지게 된다.
최종 광학 분해능은
$$ \delta \lambda = \frac {W'} {dx/d \lambda} = 11.5 / 21.0 \approx 0.55 \, nm $$DIY 분광기에서 0.55 nm의 분해능은 상당히 높은 분해능이다. 그러나 이 계산은 슬릿을 통과한 빛이 회절 격자를 거치지 않고 직접 렌즈에 도달할 때 성립하고, 회절 격자에 평행광이 아닌 발산광이 입사할 떄는 파면 왜곡 및 흐려짐(blurring) 때문에 분해능은 훨씬 더 낮아진다.
(b) Collimator가 있는 경우#
콜리메이션 렌즈로 \(f_{coll} = 50 \, mm\)의 렌즈를 사용한다고 가정하자. 이 렌즈를 슬릿으로부터 정확히 초점거리 50 mm에 해당하는 위치에 놓으면 슬릿으로 들어온 입사광은 콜리메이션 렌즈를 지나며 평행광이 되어 회절 격자를 통과하게 된다. 즉, \(s_i = 50 \, mm, s_o = \infty \) 이다.
2.5 최소/최대 파장의 회절각#
이 경우 카메라 센서의 화각(FOV)은 이미징 렌즈의 초점거리에 의하여 결정된다.
$$ \text {FOV} = 2\times arctan(\frac {센서 너비} {2 f_{imag}}) = 2 \times arctan(\frac {6.287} {2 \times 16}) \approx 22.21^\circ $$카메라 센서는 550 nm에서의 회절각 \(33.37^\circ\)을 중심으로 \( \pm \frac {22.21^\circ} {2}\) 범위, 즉 \(22.27^\circ \sim 44.47^\circ\)를 수용할 수 있다.
센서 양 끝의 회절각을 회절 방정식에 대입하여 최소/최대 파장을 구하면,
\( \lambda_{min} = 1000 \times sin(22.27^\circ) \approx 379 \, nm\)이고, \( \lambda_{max} = 1000 \times sin(44.47^\circ) \approx 701 \, nm\)이다.
따라서 HQ 카메라는 처음 목표한 가시광선(400 ~ 700 nm) 영역 전체를 한 화면에 포착할 수 있다.
2.6 광학 배율과 슬릿 이미지#
이 경우 렌즈의 배율 \(M = f_{imag}/f_{coll} = 16 / 50 \approx 0.32\)이고 아나모픽 배율 \(A = 1.20\)을 고려하면 광학계의 가로축(분산 방향)에 대한 총 배율 \(M_x = M \times A = 0.32 \times 1.20 \approx 0.383\) 이다.
카메라 센서 면에 맺히는 슬릿 이미지의 폭은 \( W' = W \times M_x = 100 \, \mu m \times 0.383 \approx 38.3 \, \mu m\) 이다.
2.7 센서 면에서의 선형 분산#
이 경우 선형 분산(linear dispersion)은 다음 식으로 주어진다.
$$ \frac {dx} {d\lambda} = \frac {f_{coll}} {d \, cos \beta} $$파장 550 nm에서 선형 분산을 구하면 \( \frac {dx} {d\lambda} = 16 / (1000 \times cos(33.37^\circ)) \approx 19.2 \, \mu m/nm\). HQ 카메라 센서의 한 픽셀의 크기는 \(1.55 \, \mu m\)이므로 파장 폭 1 nm는 \(19.2/1.55 \approx 12.4\) 픽셀에 걸쳐 퍼져있다.
최종 광학 분해능은
$$ \delta \lambda = \frac {W'} {dx/d \lambda} = 38.3 / 19.2 \approx 2.0 \, nm $$3. 분광기 구성 부품의 배치#
3.1 Collimator가 없는 경우#
총 광학 경로 길이는 HQ 렌즈의 최단 초점거리 조건을 만족해야 하므로, 슬릿에서 센서 면까지의 거리는 200 mm 이고, HQ 렌즈 앞면에서 센서까지의 거리는 67.53 mm(사양 시트에서 optical length)이다. 이때 HQ 렌즈의 초점 링은 완전히 Near 쪽에 있어야 한다. 따라서 슬릿에서 렌즈 앞면까지의 거리는 132.47 mm이고, 이 공간 안에 슬릿, 배플 1, 회절 격자, 배플 2가 차례로 배치되어야 한다.
슬릿을 통과 또는 산란되어 나온 빛의 일부는 격자 면을 벗어나 분광기의 내부 벽을 때리며 난반사를 일으키고, 이것은 센서에 잡음(noise)을 만든다. 이러한 경우 회절 격자 앞에 light baffle(배플 1)을 설치하여 격자 면을 향하는 빛만 통과시키고 나머지는 차단하는 것이 좋다.
또한 회절 격자를 통과한 빛에는 센서로 들어가는 \(33.37^\circ\) 꺾인 1차 회절광 뿐 아니라, 회절되지 않고 그대로 직진하는 매우 강한 0차 회절광이 존재한다. 따라서 격자 면 바로 뒤에 격벽(배플 2)을 세워, 직진하는 0차 회절광은 분광기의 구석으로 몰아넣어 흡수시키고 1차 회절광만 카메라 렌즈 쪽으로 들어오도록 공간을 물리적으로 나누어 주어야 한다.
슬릿의 위치를 0 mm(시작점)로 잡고, 광학 경로를 따라 배치되는 각 부품의 위치는 다음과 같다.
| 부품명 | 슬릿으로부터의 유효 거리 (광학 경로 기준) | 직전 부품과의 간격 | 배치 각도 (수직 광축 기준) |
|---|---|---|---|
| 1. 슬릿 | \(0\text{ mm}\) | - | \(0^\circ\) |
| 2. 배플 1 | \(40.00\text{ mm}\) | 슬릿에서 \(40.00\text{ mm}\) | \(0^\circ\) |
| 3. 회절 격자 | \(120.00\text{ mm}\) | 배플 1에서 \(80.00\text{ mm}\) | \(0^\circ\) |
| 4. 배플 2 | \(125.00\text{ mm}\) | 격자에서 \(5.00\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
| 5. HQ 16mm 렌즈 앞면 | \(132.47\text{ mm}\) | 격자에서 \(12.47\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
| 6. 카메라 센서 | \(200.00\text{ mm}\) | 16 mm 렌즈 앞면에서 \(67.53\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
3.2 Collimator(f = 50 mm)가 있는 경우#
콜리메이션 렌즈를 사용할 때 가장 핵심적인 광학적 변화는, 슬릿에서 나온 빛이 50 mm 렌즈를 거치면서 완벽한 평행광(collimated light)이 되기 때문에 HQ 렌즈의 최단 초점 거리(MOD)에 의한 제약 조건은 사라지게 된다는 것이다. HQ 렌즈는 무한대 초점에서 평행광을 받아 센서에 상을 맺게 되므로 HQ 카메라 렌즈의 초점 링은 Near 쪽이 아니라 Far(\(\infty\)) 쪽에 놓아야 한다.
| 부품명 | 슬릿으로부터의 유효 거리 (광학 경로 기준) | 직전 부품과의 간격 | 배치 각도 (수직 광축 기준) |
|---|---|---|---|
| 1. 슬릿 | \(0\text{ mm}\) | - | \(0^\circ\) |
| 2. 배플 1 | \(25.00\text{ mm}\) | 슬릿에서 \(25.00\text{ mm}\) | \(0^\circ\) |
| 3. 50mm 콜리메이터 렌즈 | \(50.00\text{ mm}\) | 배플 1에서 \(25.00\text{ mm}\) | \(0^\circ\) |
| 4. 회절 격자 | \(70.00\text{ mm}\) | 50mm 렌즈에서 \(20.00\text{ mm}\) | \(0^\circ\) |
| 5. 배플 2 | \(75.00\text{ mm}\) | 격자에서 \(5.00\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
| 6. HQ 16mm 렌즈 앞면 | \(85.00\text{ mm}\) | 격자에서 \(15.00\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
| 7. 카메라 센서 | \(152.53\text{ mm}\) | 16mm 렌즈 앞면에서 \(67.53\text{ mm}\) | \(33.37^\circ\) |
